Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = - 2 x

∂ z ∂ y = - 2 y

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 2 x 2 + - 2 y 2 d A = ∬ D 1 + 4 x 2 + y 2 d A

Para obtermos a região que está acima do plano x y , basta fazermos a interseção com o plano z = 0 . Desta forma, obtemos x 2 + y 2 = 4 , uma região circular de raio 2 e centrado na origem.

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Logo, temos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π 2 3 ⋅ 1 + 4 r 2 3 2 8 0 2 d θ

A S = ∫ 0 2 π 17 3 / 2 - 1 12 d θ

A S = π 17 3 / 2 - 1 6

Resposta

A S = π 17 3 / 2 - 1 6

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