Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

m) x 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + z 2 ≤ a 2   a > 0

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Mas antes de prosseguimos em determinar o volume, vamos tentar entender qual é nossa figura. As equações dadas nos sugerem que estamos trabalhando com dois cilindros. Entretanto um está erguido paralelo ao plano x y e o segundo erquido paralelo ao plano x z

Que acredite, é algo um pouco complicada de se ver

Passo 2

Primeiro vamos tentar definir nossos limites de integração e depois o conjunto K .

Tomando que

x 2 + y 2 = x 2 + z 2 → z = ± y

Assim temos

E a projeção desta interseção é a metade da circunferência x 2 + y 2 ≤ a 2 no plano x y . Perceba que quando a gente integrar, entaremos calculando apenas 1 / 4 do nosso volume. Isso porque as únicas partes que estamos calculando será

Assim não podemos esquecer do fator 4 em nossa integral

Passo 3

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

4 ∫ ∫ K ∫ - y y d z ⋅ d x ⋅ d y

= 4 ∫ ∫ K [ 2 y ] d x ⋅ d y

Como definimos antes, temos que a nossa projeção é a metade da circunferência x 2 + y 2 ≤ a 2 podemos usar uma parametrização em coordenadas polares e ficar com

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ a

0 ≤ θ ≤ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

8 ∫ 0 π ∫ 0 a ρ   s e n   θ ρ   d ρ   d θ

Integrando em ρ

= 8 3 a 3 ∫ 0 π s e n   θ   d θ

E a integral de seno é o menos cosseno, ou seja

= 8 3 a 3 - cos ⁡ θ 0 π = - 8 3 a 3 - 1 - 1 = 16 a 3 3

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 16 a 3 3

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Calcule a integral tripla.
Calcule a integral iterada. ∫ ∫ ∫ ε x 2 ⋅ e y⋅ d V , onde E é limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0 , x = 1 e x = - 1 .
Calcule a integral iterada. ∫ ∫ ∫ ε x ⋅ z⋅ d V , onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0) e (0,1,1).
Calcule a integral iterada. ∫ ∫ ∫ ε x ⋅ y⋅ d V , onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
Calcule a integral tripla ∭ E x + 2 y d V , onde E é limitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e pelos planos x = z , x = y e z = 0 .