Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z

Passo 1

Precisamos resolver uma integral tripla iterada. Para isto, basta fazermos o que já viemos fazendo com todas as outras integrais, isto é, resolver a integral mais interna para a mais externa.

Muito cuidado para não errar a ordem de integração! A ordem será dada pelo d que está mais próximo da função!

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável y . Portanto,

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z = int_1^2 int_0^(2 z) (- x e^(- y))_0^(ln x) d x d z

int_1^2 int_0^(2 z) (- 1 + x) d x d z

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a x . Logo,

int_1^2 int_0^(2 z) (- 1 + x) d x d z = int_1^2 (- x + (x^2)/(2))_0^(2 z) d z

int_1^2 (- 2 z + 2 z^2) d z

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a z .

int_1^2 (- 2 z + 2 z^2) d z = (- z^2 + (2 z^3)/(3))_1^2

(- 4 + (16)/(3)) - (- 1 + (2)/(3)) = (5)/(3)

Resposta

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z = (5)/(3)

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