Enunciado

Se F x = f x   f x   f x , onde f 1 = 2 , f 2 = 3 , f ' 1 = 4 , f ' 2 = 5 e f ' 3 = 6 , encontre F ' ( 1 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha???

Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

F x = f x f x f x

Onde: f 1 = 2 , f 2 = 3 , f ' 1 = 4 , f ' 2 = 5 e f ' 3 = 6

Sabendo disso, queremos encontrar a derivada F ' ( 1 ) .

Parece complicado?

Bom... vamos ver... enunciado fornce uma função F que é a composta de uma outra função f que temos algumas informações em alguns pontos.

Devemos achar F ' ( 1 ) e, para isso, derivamos F e encontramos F ' ( x ) e daí substituímos x = 1 .

Ah... vamos precisar também da regra da cadeia já que F é uma função composta, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos achar primeiro F ' x . Aplicando a regra da cadeia:

F ' x = f ' x f x f x ⋅ x f x f x '

Mas perceba que ainda temos uma função composta em f x f x , então vamos que aplicar a regra da cadeia novamente.

F ' x = f ' x f x f x ⋅ x f x f x ' ⋅ x f x '

Vamos calcular x f x ' :

x   f x ' = 1 ⋅ f x + x ⋅ f ' x = f x + x   f ' ( x )

Agora calculemos x   f x   f x ' :

x   f x   f x ' = 1 ⋅ f x   f x + x ⋅ f ' x f x ⋅ x   f x '

Agora vamos substituir x = 1 e ver no que da:

F ' 1 = f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ⋅ 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' ⋅ 1 ⋅   f 1 '

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos analisar cada termo separadamente...

Vamos calcular primeiro f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 :

f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 = f ' f f 1

Foi dito que f 1 = 2 , ou seja

f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 = f ' f 2

Tambem foi dito que f 2 = 3 ...

f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 = f ' 3

E por ultimo foi dado que f ' 3 = 6 , logo

f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 = 6

Show?

Passo 4

Calculemos agora 1 ⋅   f 1 ' :

1 ⋅   f 1 ' = f 1 + 1 ⋅ f ' 1

Foi dado no enunciado que f 1 = 2 e f ' 1 = 4 , ou seja...

1 ⋅   f 1 ' = 2 + 4

1 ⋅   f 1 ' = 6

Bacana, não é?

Passo 5

Por fim, vamos calcular 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' :

1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' = f 1 ⋅ f 1 + 1 ⋅ f ' 1 ⋅ f 1 ⋅ 1 ⋅ f 1 '

Se f 1 = 2 ...

1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' = f 2 + 1 ⋅ f ' 2 ⋅ f ' 1

Agora verificamos que f ' 1 = 6 , f ' 2 = 5 e f 2 = 3 .

1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' = 3 + 1 ⋅ 5 ⋅ 6

1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' = 33

Assim, substituindo tudo em F ' 1 , temos:

F ' 1 = f ' 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ⋅ 1 ⋅   f 1 ⋅   f 1 ' ⋅ 1 ⋅   f 1 '

F ' 1 = 6 ⋅ 33 ⋅ 6

F ' 1 = 1188

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

F ' 1 = 1188

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