Enunciado

Use a regra da cadeia para mostrar que, se θ for medido em graus, então

d d θ s e n   θ = π 180 cos ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu querido colega. Vamos para essa resolução.

Aqui a gente tem que utilizar a regra da cadeia para mostrar que a derivada para o sin ⁡ θ , que a gente sabe ser cos ⁡ θ , não se aplica quando θ é medido em graus.

Antes de tudo, vamos dar uma olhada na regra da cadeia, ela é utilizada quando devemos derivar uma função composta:

Se y = f g x e u = g ( x ) então y = f ( u ) e a derivada de y é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Para encontrarmos essa relação, vamos usar a relação de conversão de uma medida x em radianos para um ângulo θ em graus:

x = π 180   θ

Passo 2

Então queremos calcular a derivada:

d sin ⁡ θ d θ

Porém se θ é medido em graus, então a medida em radianos é convertida da seguinte forma θ ∙ π 180 , então nossa derivação se torna:

d sin ⁡ θ d θ = d sin ⁡ π θ 180 d θ

Utilizando a regra da cadeia pois agora temos uma função, a função seno, que depende de outra função, a função de conversão θ π 180 , podemos escrever:

d sin ⁡ θ d θ = d sin ⁡ π θ 180 d π θ 180 ∙ d π θ 180 d θ

d sin ⁡ θ d θ = cos ⁡ θ π 180 π 180

Agora convertendo de volta para graus:

d sin ⁡ θ d θ = π 180 cos ⁡ θ

Resposta

Demonstração.

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