Enunciado

11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,   y ) da função naquele ponto.

12. f x ,   y = x y ,   ( 1 ,   4 )

Passo 1

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart isso só acontece se as derivadas parciais f x e f y existirem perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f x = 1 2 x y - 1 2 . y = y 2 x y

f x 1 ,   4 = 4 2 1.4 = 1

f y = 1 2 x y - 1 2 . x = x 2 x y

f y 1 ,   4 = 1 2 1.4 = 1 4

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas desde que x y > 0 , uma vez que o denominador não pode ser zero. Portanto, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f 1 ,   4 = 1.4 = 2

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = 2 + 1 x - 1 + 1 4 y - 4 = 2 + x - 1 + 1 4 y - 1

∴ L x ,   y = x + 1 4 y

Resposta

L x ,   y = x + 1 4 y

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