Enunciado

O paraboloide z = 6 - x - x 2 - 2 y 2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto 1 ,   2 ,   - 4 . Use um computador para fazer o gráfico do paraboloide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela.

Passo 1

Pessoal, se substituirmos x = 1 na equação do paraboloide, encontraremos a equação da parábola de intersecção:

z = 6 - 1 - 1 2 - 2 y 2

z = 4 - 2 y 2

Para descobrirmos a inclinação da reta tangente a essa parábola, é só derivar ambos os lados da equação acima:

∂ z ∂ y = - 4 y

Passo 2

Como queremos descobrir as equações paramétricas da reta tangente no ponto 1 ,   2 ,   - 4 , vamos substituir y = 2 para descobrir a inclinação da reta:

∂ z ∂ y = - 4   .   2 = - 8

Então, as equações paramétricas serão:

x = 1

y = 2 + t

z = - 4 - 8 t

Passo 3

Show! Agora vamos usar um computador para fazer o seguinte gráfico:

Resposta

x = 1

y = 2 + t

z = - 4 - 8 t

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