Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 98
(a) Quantas derivadas de -ésima ordem tem uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.
Passo 1
(a) Pessoal, se estamos diferenciando a função vezes, então há duas possíveis escolhas de variável a cada diferenciação, o que nos dá derivadas de -ésima ordem possíveis.
Passo 2
(b) Agora, se essas derivadas são contínuas, então a ordem de escolha não importa, por exemplo:
Assim, todas as derivadas de -ésima ordem que são derivadas vezes em relação a e vezes em relação a são iguais. Então, já que pode variar entre e , teremos derivadas distintas.
Passo 3
(c) Usando o mesmo raciocínio do item (a), agora teremos três escolhas possíveis de variável a cada diferenciação, o que nos dá derivadas de -ésima ordem possíveis.
Resposta
(a)
(b)
(c)