Enunciado

(a) Quantas derivadas de n -ésima ordem tem uma função de duas variáveis?

(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?

(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.

Passo 1

(a) Pessoal, se estamos diferenciando a função n vezes, então há duas possíveis escolhas de variável a cada diferenciação, o que nos dá 2 n derivadas de n -ésima ordem possíveis.

Passo 2

(b) Agora, se essas derivadas são contínuas, então a ordem de escolha não importa, por exemplo:

f x y = f y x

f x x y = f y x x = f x y x

Assim, todas as derivadas de n -ésima ordem que são derivadas p vezes em relação a x e n - p vezes em relação a y são iguais. Então, já que p pode variar entre 0 e n , teremos n + 1 derivadas distintas.

Passo 3

(c) Usando o mesmo raciocínio do item (a), agora teremos três escolhas possíveis de variável a cada diferenciação, o que nos dá 3 n derivadas de n -ésima ordem possíveis.

Resposta

(a) 2 n

(b) n + 1

(c) 3 n

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