Enunciado

Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo ponto?

a. ( - 2 , π / 3 )

b. ( 2 , π / 3 )

c. ( r , θ )

d. ( r ,   θ + π )

e. ( - r , θ )

f. ( 2 , - 2 π / 3 )

g. ( - r ,   θ + π )

h. ( - 2,2 π / 3 )

Passo 1

Fala, galera! Mais uma questão para a gente identificar pontos nas coordenadas polares. Alguns deles serão repetidos, então temos que descobrir isso. Como podemos expressar um mesmo ponto de formas diferentes apenas mudando o ângulo ou o sinal do raio r . Por isso, vamos analisar todos os pontos com o mesmo valor de r , em módulo.

Passo 2

Agora, vamos pegar todos com r = 2 ou r = - 2 :

a. ( - 2 , π / 3 )

b. ( 2 , π / 3 )

f. ( 2 , - 2 π / 3 )

h. ( - 2,2 π / 3 )

O ponto do item a tem raio r = - 2 e ângulo π / 3 = 60 ° . Então, temos que ir até o ângulo 60 ° e depois “voltar” duas unidades. Nesse caso, estamos no ponto 60 ° + 180 ° = 240 ° . Já o ponto do item b também tem o mesmo ângulo, mas com raio negativo, o que significa que estamos no lado oposto do ponto a. Então, esse ponto não é igual ao primeiro. No item f, o ângulo é - 2 π / 3 = 240 ° , então também temos um ponto igual ao primeiro. Finalmente, no item h, o ângulo 2 π / 3 = 120 ° mas o raio é negativo, o que significa que o ponto na verdade está no ângulo 0 ° .

Passo 3

Agora, vamos analisar os itens

c. ( r , θ )

d. ( r ,   θ + π )

e. ( - r , θ )

g. ( - r ,   θ + π )

Vamos começar com o ponto ( r , θ ) . Se a gente girar esse ponto por um ângulo π , caímos no ponto ( r ,   θ + π ) , que não é o mesmo que ( r ,   θ ) . O ponto ( - r , θ ) é obtido a partir de ( r , θ ) apenas caminhando no sentido contrário r unidades. Até agora, todos os pontos são diferentes. O ponto ( - r ,   θ + π ) é obtido através de ( r ,   θ + π ) apenas caminhando no sentido oposto r unidades ou a partir de ( - r , θ ) , girando por um ângulo π . Assim, todos os pontos estão em quadrantes diferentes.

Resposta

a ,   f

Exercícios de Livros Relacionados

Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto com r0 e outro com r0 .a) 3 ,0 b) 2 ,- π 7 c) - 1 ,- π 2
Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada. x + y = 9
Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada. x 2 - y 2 = 1
Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada. x = 3
Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares 1 , π 6 e 3 , 3 π 4 .