Enunciado

A parte do plano x + 2 y + 3 z = 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 3

Passo 1

Não é uma tarefa fácil parametrizar está intercessão, entretanto, nós podemos utilizar os resultados de quando queremos calcular a área de superfície de uma função fazendo a seguinte definição.

x + 2 y + 3 z = 1

z = (1)/(3) ( 1 - x - 2 y )

E então aproveitar os resultados 7,8,9 para calcular a área desse plano delimitada pelo disco x^2 + y^2 <= 3

Caso o leitor queria seguir pelo método da parametrização pense em desenhar o gráfico das duas figuras que ficara mais intuitiva a parametrização.

Passo 2

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A

((del z)/(del x))^2 = ((del ((1)/(3) (1 - x - 2 y)))/(del x))^2 = (1)/(9)

((del z)/(del y))^2 = ((del ( ((1)/(3) (1 - x - 2 y)))/(del y))^2 = (4)/(9)

A = ∬ sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A = ∬ sqrt(1 + ((1)/(9)) + (4)/(9)) d A

= (sqrt(14))/(3) ∬ d A =

d A = r d r d theta

(sqrt(14))/(3) ∬ r d r d theta = (sqrt(14))/(3) int_0^(2 pi) d theta int_0^(sqrt(3)) r d r = (sqrt(14))/(3) pi (sqrt(3))^2 = sqrt(14) pi

A = sqrt(14) pi

Resposta

A = sqrt(14) pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área da superfície.O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial r u , v = u cos ⁡ vi + u sen ⁡ v j + vk ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ π
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Se a equação de uma superfície S é z = f x , y , onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1 o que você pode dizer sobre A(S)?
A parte do plano com equação vetorial r u , v = { u + v , 2 - 3 u , 1 + u - v } que é dada por 0 ≤ u ≤ 2,- 1 ≤ v ≤ 1