Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 7
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Substituindo isso na expressão :
Assim,
Multiplicando a equação por :
Passo 2
Trata-se de uma equação biquadrada que vamos resolver fazendo :
Encontramos (não convém) e . Assim,
Como
quando , temos , enquanto para , obtemos . Assim, os pontos críticos de são
Passo 3
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
Tanto para como para :
Como , esses dois pontos são pontos de sela da função!