Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = x - x 2 y - y + x y 2

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 1 - 2 x y + y 2

f y = - x 2 - 1 + 2 x y

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

1 - 2 x y + y 2 = 0 ⇒ 2 x y = 1 + y 2 ⇒ x = 1 2 y + y 2

Substituindo isso na expressão f y = 0 :

- 1 2 y + y 2 2 - 1 + 2 1 2 y + y 2 y = 0

Assim,

- 1 4 y 2 - 1 2 - y 2 4 - 1 + 1 + y 2 = 0 ⇒ 3 y 2 4 - 1 2 - 1 4 y 2 = 0

Multiplicando a equação por y 2 :

3 y 4 4 - y 2 2 - 1 4 = 0 ⇒ 3 y 4 - 2 y 2 - 1 = 0

Passo 2

Trata-se de uma equação biquadrada que vamos resolver fazendo y 2 = t :

3 t 2 - 2 t - 1 = 0 ⇒ t = 2 ± 4 + 12 6 = 2 ± 4 6

Encontramos t = - 1 / 3 (não convém) e t = 1 . Assim,

y 2 = 1 ⇒ y = ± 1

Como

x = 1 2 y + y 2 ,

quando y = - 1 , temos x = - 1 , enquanto para y = 1 , obtemos x = 1 . Assim, os pontos críticos de f são

- 1 ,   - 1           e             ( 1 ,   1 )

Passo 3

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = - 2 y

f y y = 2 x

f x y = f y x = - 2 x + 2 y

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = - 2 y - 2 x + 2 y - 2 x + 2 y 2 x

Logo,

D = - 4 x y - 4 x 2 + 4 y 2 - 8 x y = - 4 x 2 - 4 y 2 + 4 x y

Tanto para x = y = 1 como para x = y = - 1 :

D = - 4 - 4 + 4 = - 4 < 0

Como D < 0 , esses dois pontos são pontos de sela da função!

Resposta

- 1 ,   - 1   e     1 ,   1     →   p o n t o s   d e   s e l a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

37. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a fun
Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifiqu
Mostre que f x ,y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vi
5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vi