Enunciado

Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força elástica - x i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por   - 2 x ˙   i → determine a posição x = x t ,   t ≥ 0 , da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo

a )   x 0 = 1   e   x ˙ 0 = 0

b ) x 0 = 1   e   x ˙ 0 = - 2

Passo 1

Imagine que temos uma bancada ou uma mesa, e que a largura da mesa é o eixo   x , em cima dessa mesa temos uma partícula que está sofrendo uma força elástica e uma força de amortecimento proporcional a velocidade.

Vamos entender o que tudo isso quer dizer:

A velocidade é v = d s d t sendo que nosso espaço é o quanto a partícula desloca no eixo x , ou seja: v = d x d t = x ˙

Essa força de amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja, tem um coeficiente de proporcionalidade que multiplica a velocidade e temos essa força de amortecimento. No caso dado é - 2 , assim temos que a f o r ç a   d e   a m o r t e c i m e n t o = 2 x ˙ (o – i quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo x ).

A força elástica é dada por:

F e = k x

Para esse caso k = 1 por isso temos:   F e = k x = x (o – i quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo x ).

Sabemos que o somatório de forças em x   é igual a f o r ç a   r e s u l t a n t e = m a

Sendo que o exercício diz que m = 1 e sabemos que a = d v d t = d d t d s d t = d 2 s d t 2 que, como já vimos acima, como ela se desloca sobre o eixo x teremos:   a = d 2 x d t 2 = x ¨

Assim:

∑ F x = m a → - x i → - 2 x ˙   i → = x ¨ i → → 0 = x ¨ i → + 2 x ˙   i → + x i → → x ¨ + 2 x ˙ + x i → = 0

Passo 2

Agora que sabemos qual a relação com as forças vamos tentar achar a relação x = x t

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t + e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ + 1 = 0 → λ 2 + 2 λ + 1 = 0

λ 2 + 2 λ + 1 = 0 → λ + 1 2 = 0 → λ 1 = - 1   e   λ 2 = - 1

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função e λ t λ 2 + 2 λ + 1 = 0 ), então se λ 1 =   λ 2 podemos afirmar que:

x t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x t = A e - 1 t + B t e - 1 t

Nesse caso, precisamos também de x ˙ t , para aplicar o x ˙ 0 :

x ˙ t =   - A e - 1 t + B e - 1 t - B t e - 1 t → x ˙ t =   e - 1 t - A + B - B t →

x ˙ t = e - 1 t - A + B 1 - t  

Passo 3

  1. Agora que achamos essas duas relações podemos substituir os valores:
  2. x 0 = 1 = A e - 1 ( 0 ) + B 0 e - 1 0 = A + 0 → A = 1

    x ˙ 0 = 0 = e - 1 0 - A + B 1 - 0 = - A + B → A = B → B = 1

    Assim:

    x t = A e - 1 t + B t e - 1 t = e - t + t e - t = e - t 1 + t

    Precisamos entender o comportamento dessa função.

    Sabemos que a derivada dela é:

    x ˙ t = e - t - A + B 1 - t = e - t - 1 + 1 1 - t = e - t - 1 + 1 - t = - t e - t

    Ele limita t ≥ 0 assim, para função dada vamos ver o seguinte:

  • A função é sempre negativa no intervalo t ≥ 0 , ou seja, a função é sempre decrescente;
  • Como t cresce mais devagar que e - t podemos afirmar que no intervalo dado a derivada decresce, ou seja, diminui mais devagar.
  • O lim t → ∞ ⁡ 1 e t 1 + t = lim t → ∞ ⁡ 1 + t e t = lim t → ∞ ⁡ 1 e t + lim t → ∞ ⁡ t e t → L ' H o s p i t a l lim t → ∞ ⁡ 1 e ∞ + lim t → ∞ ⁡ 1 e ∞ = 0 , ou seja, a função tende pra 0 conforme se aproxima de .
  • Assim espera-se que o gráfico seja algo assim:

    A interpretação pro caso dado é que se x equivale ao espaço percorrido, e t o tempo decorrido conforme o experimento.

    Vemos que o x   é máximo no começo do experimento, enquanto ele tende a 0 conforme o tempo passa, isso pode ser entendido como efeito do amortecimento e da força elástica aplicada ao corpo

    Passo 4

  • O mesmo para o outro caso:
  • x 0 = A e - 1 ( 0 ) + B 0 e - 1 0 = A + 0 → A = 1

    x ˙ 0 = e - 1 0 - A + B 1 - 0 = - A + B → - 1 + B = 0 → B = 0

    x t = A e - 1 t + B t e - 1 t = e - t

    Precisamos entender o comportamento dessa função.

    Sabemos que a derivada dela é:

    x ˙ t = - e - t

    Ele limita t ≥ 0 assim, para função dada vamos ver o seguinte:

  • A função é sempre negativa no intervalo t ≥ 0 , ou seja, a função é sempre decrescente;
  • e - t é decrescente.
  • O lim t → ∞ ⁡ 1 e t = lim t → ∞ ⁡ 1 e ∞ = 0 , ou seja, a função tende pra 0 conforme se aproxima de .

Assim espera-se que o gráfico seja algo assim:

A interpretação pro caso dado é que se x equivale ao espaço percorrido, e t o tempo decorrido conforme o experimento.

Vemos que o x   é máximo no começo do experimento, enquanto ele tende a 0 conforme o tempo passa, isso pode ser entendido como efeito do amortecimento e da força elástica aplicada ao corpo

Vemos que ele decresce mais rápido pra esse caso,

Resposta

a )   x t = e - t + t e - t = e - t 1 + t

b )   x t = e - t - t e - t = e - t 1 - t

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Resolva as equações: a )z 2 + 1 = 0
Resolva as equações: f )λ 2 + 4 = 0
Resolva as equações: g )λ 2 + λ + 2 = 0
Calcule a e b: b )2 + 3 i 2 = a + b i
Calcule a e b: f ) i + 1 2 i - 1 2 = a + b i