1. Determine a solução do problema.

b) (d^2x/dt^2) - 2(dx/dt) = 0, x(0) = 0 e x'(0) = 1

Passo 1

Teorema,

  1. s e   λ 1 ≠   λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   d a   e q u a ç ã o   h o m o g ê n e a   λ 2 + b λ + c = 0   s e r á  
  2.   x = A e λ 1 t + B e λ 2 t

  3. s e   λ 1 = λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   s e r á

x = A e λ 1 t + B t e λ 1 t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

d 2 x d t 2 - 2 d x d t = 0 x 0 = 0   e   x ' 0 = 1

d 2 x d t 2 - 2 d x d t = 0

Transformando no formato λ 2 + b λ + c = 0 ,

λ 2 - 2 λ = 0  

Passo 3

Resolvendo...

λ 2 - 2 λ = 0

λ λ - 2

As raízes dessa equação homogênea são,

λ 1 = 0 ,     λ 2 = 2

Pelo teorema, λ 1 ≠ λ 2

Então a solução geral da equação,

x = A e 0 ⋅ t + B e 2 ⋅ t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

x ' = 2 B e 2 t

Então,

  A + B e 2 ⋅ 0 = 0 2 B e 2 ⋅ 0 = 1

Ou

A + B = 0 2 B = 1

E, portanto, A = - 1 2   e   B = 1 2 .   A   s o l u ç ã o   d o   p r o b l e m a   é ,

x = - 1 2 + 1 2 e 2 t

Resposta

x = - 1 2 + 1 2 e 2 t

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