Enunciado

Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força elástica - 4 x i → . Supondo   x 0 = 1   e   x ˙ 0 = - 1 , determine a velocidade no instante t .

Passo 1

Imagine que temos uma bancada ou uma mesa, e que a largura da mesa é o eixo   x , em cima dessa mesa temos uma partícula que está sofrendo uma força elástica.

Vamos entender o que tudo isso quer dizer:

A força elástica é dada por:

F e = k x

Para esse caso k = 4 por isso temos:   F e = k x = 4 x (o – i quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo x ).

Sabemos que o somatório de forças em x   é igual a f o r ç a   r e s u l t a n t e = m a

Sendo que o exercício diz que m = 1 e sabemos que a = d v d t = d d t d s d t = d 2 s d t 2 que, como já vimos acima, como ela se desloca sobre o eixo x teremos:   a = d 2 x d t 2 = x ¨

Assim:

∑ F x = m a → - 4 x i → = x ¨ i → → 0 = x ¨ i → + 4 x i → → x ¨ + 4 x i → = 0

Passo 2

Agora que sabemos qual a relação com as forças vamos tentar achar a relação x = x t

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 4 x = 0 → λ 2 e λ t + 4 e λ t = e λ t λ 2 + 4 = 0 → λ 2 + 4 = 0

λ 2 + 4 = 0 → λ 2 = - 4 → λ = ± - 4 = ± 4 i 2 = ± 2 i 2 = ± 2 i

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = 0   e   β = 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e 0 t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t   = A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

Nesse caso, precisamos também de x ˙ t , para aplicar o   x ˙ 0 :

x ˙ t =   - 2 A sin ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

Passo 3

Vamos então fazer as substituições necessárias para encontrar A   e   B :

x 0 = A cos ⁡ 2 × 0 + B sin ⁡ 2 × 0 = A × 1 + B × 0 = A → A = 1

x ˙ 0 =   - 2 A sin ⁡ 2 × 0 + 2 B × cos ⁡ 2 × 0 = - 2 A × 0 + 2 B × 1 = 2 B → 2 B = - 1 → B = - 1 2

Passo 4

Ele pede a Velocidade, como foi dito x representa o espaço percorrido, logo a velocidade vai ser descrita por:

x ˙ = d x d t = x ˙ t =   - 2 A sin ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

Assim, substituindo os valores de A   e   B , teremos:

x ˙ = - 2 × 1 sin ⁡ 2 t + 2 × - 1 2 cos ⁡ 2 t = - 2 sin ⁡ 2 t - 1 cos ⁡ 2 t

Resposta

x ˙ = - 2 sin ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t

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