Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y^(' ') - 2 y^' + 5 y = 0 , y (pi) = 0 , y^' (pi) = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

A solução é:

y (x) = A e^(k x)

As derivadas primeira e segunda:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) - 2 k A e^(k x) + 5 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k x) temos:

k^2 - 2 k + 5 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 2 ) +- sqrt(( - 2 )^2 - 4.1 . 5))/(2.1)

k = (2 +- sqrt(4 - 20))/(2) = (2 +- sqrt(- 16))/(2) = (2 +- 4 i)/(2)

k = 1 +- 2 i

As raízes são complexas k = alpha +- beta i e assim a solução é do tipo: y (x) = e^(alpha x) [c_1 cos (beta x) + c_2 s e n (beta x)] . Beleza? Aqui achamos alpha = 1 e beta = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y (x) = e^x [c_1 cos (2 x) + c_2 s e n (2 x)]

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Bora lá!

Passo 4

A primeira condição de contorno nos diz que y (pi) = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (pi) = e^(pi) [c_1 cos (2 pi) + c_2 s e n (2 pi)] = 0

Sendo assim temos:

e^(pi) [c_1 . 1 + c_2 . 0] = 0

Dalí tiramos o valor de c_1 :

e^(pi) c_1 = 0 :. c_1 = 0

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):

y^' (x) = e^x [c_1 cos (2 x) + c_2 s e n (2 x)] + e^x [- 2 c_1 sen (2 x) + 2 c_2 c o s (2 x)]

A condição de contorno nos diz que y^' (pi) = 2 , então fazendo x = pi temos:

e^(pi) [c_1 cos (2 pi) + c_2 s e n (2 pi)] + e^(pi) [- 2 c_1 sen (2 pi) + 2 c_2 c o s (2 pi)] = 2

E simplificando temos:

e^(pi) [c_1 . 1 + c_2 . 0] + e^(pi) [- 2 c_1 . 0 + 2 c_2 . 1] = 2

Mas sabemos que c_1 = 0 , então ficamos com uma expressão apenas para c_2 :

2 e^(pi) c_2 = 2 :. c_2 = 1 // e^(pi)

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = e^x [0 . cos (2 x) + 1 // e^(pi) s e n (2 x)]

y (x) = (e^x)/(e^(pi)) s e n (2 x) = e^(x - pi) s e n ( 2 x )

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = e^(x - pi) s e n ( 2 x )

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