Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 5 - 2 c o s 2 t , onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t s. Se v   c m / s e a   c m / s 2 forem, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula em t s, ache v e a em termos de s.

Passo 1

A questão nos pede para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da equação dada no enunciado e a aceleração, que é a segunda derivada. Portanto precisamos fazer a derivação da equação:

s = 5 - 2 c o s 2 t

d s d t = d d t 5 - 2 c o s 2 t

Passo 2

Resolvendo a derivada:

d d t 5 - 2 c o s 2 t = d d t 5 - d d t 2 c o s 2 t

O primeiro termo é facilmente calculado, igual a 0, o segundo vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

d d x 2 x 2 = 4 x

E então substituímos x pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dessa função:

d d t 2 c o s 2 t = 4 c o s t d d t ( c o s t )

Resolvendo diretamente a derivada que apareceu, ficaremos com:

d d t 2 c o s 2 t = - 4 s e n t c o s t

Substituindo o resultado no início, nossa velocidade será:

d s d t = d d t 5 - 2 c o s 2 t = 4 s e n t c o s t

v = 4 s e n t c o s t

Passo 3

Agora vamos derivar a velocidade para encontrarmos a aceleração:

d v d t = d d t 4 s e n t c o s t

Para fazermos essa derivada precisamos aplicar a Regra do Produto:

d d t 4 s e n t c o s t = d d t 4 s e n t c o s t + 4 s e n t d d t c o s t

Fazendo as derivadas que apareceram diretamente, ficaremos com:

d d t 4 s e n t c o s t = 4 c o s t c o s t - 4 s e n t s e n t

d v d t = d d t 4 s e n t c o s t = 4 ( c o s 2 t - s e n 2 t )

a = 4 ( c o s 2 t - s e n 2 t )

Resposta

v = 4 s e n t c o s t

a = 4 ( c o s 2 t - s e n 2 t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s
Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s