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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem para os pontos 1,0 , 0 , 1,2 , 1 , ( 0,2 , 1 ) e de volta a origem sob a influência do campo de força

F x , y , z = z 2 i + 2 x y j + 4 y 2 k

Encontre o trabalho realizado.

Passo 1

Bom, pessoal, o trabalho feito pela força F ao mover a partícula ao longo da nossa curva C é dado por

∫ C F . d r

O teorema de Stokes nos diz que

∫ C F . d r = ∬ S r o t ( F ) . d S

Onde C é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja S   a região dentro do retângulo formado pelos quatro pontos dados.

Por definição, temos que:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Sabendo que F = z 2 i + 2 x y j + 4 y 2 k . Portanto,

r o t F = 8 y - 0 i + 2 z - 0 j + 2 y - 0 k = 8 y i + 2 z j + 2 y k

Passo 2

Nós precisamos achar a equação do plano que passa pelos quatro pontos dados no enunciado. Isso é tranquilo, vamos passo a passo:

  • Seja a equação para um plano da forma a x + b y + c z = d ;
  • No ponto ( 1,0 , 0 ) do plano: a = d → ( 1 )
  • No ponto ( 1,2 , 1 ) do plano: a + 2 b + c = d → ( 2 )
  • No ponto 0,2 , 1 do plano: 2 b + c = d → 3

Vamos subtrair a equação ( 3 ) da equação ( 2 ) . Assim, temos

2 b + c - a - 2 b - c = d - d

a = 0

Substituindo o valor de a na equação ( 1 ) , encontramos que d = 0 . Logo, a equação do plano se torna:

b y + c z = 0

Usando a equação ( 3 ) para substituir c :

b y + - 2 b z = 0

z = y 2

Passo 3

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:

∬ S G . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Onde G = P i + Q j + R k e D é a projeção da superfície no plano x y . Aqui, sabemos que S faz parte do plano z = y 2 . Nesse problema, G = r o t ( F ) . Assim, temos:

∬ S r o t F . d S = ∬ D - 8 y 0 - 2 z 1 2 + 2 y   d A

∬ S r o t F . d S = ∬ D 2 y - z   d A

Substituindo z = y 2 :

∬ S r o t F . d S = ∬ D 2 y - y 2   d A

∬ S r o t F . d S = 3 2 ∬ D y   d A

D é a projeção da superfície S , que acaba sendo um retângulo formado no plano x y pelos pontos 0,0 , 1,0 , ( 1,2 ) e ( 0,2 ) . Se olharmos para o gráfico, podemos definir os limites de integração de x e y .

Podemos definir D como { x , y ∈ D | 0 ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ x < 1 } . Calculando a integral, temos:

∬ S r o t F . d S = 3 2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 y d y d x

∬ S r o t F . d S = 3 2 ∫ 0 1 y 2 2 0 2

∬ S r o t F . d S = 3 2 ∫ 0 1 4 2 d x = 3 2 2 x 0 1

∬ S r o t F . d S = 3 2 2 = 3

Resposta

O trabalho feito é igual a 3 .

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