Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 17
Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem para os pontos e de volta a origem sob a influência do campo de força
Encontre o trabalho realizado.
Passo 1
Bom, pessoal, o trabalho feito pela força ao mover a partícula ao longo da nossa curva é dado por
O teorema de Stokes nos diz que
Onde é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja a região dentro do retângulo formado pelos quatro pontos dados.
Por definição, temos que:
Sabendo que . Portanto,
Passo 2
Nós precisamos achar a equação do plano que passa pelos quatro pontos dados no enunciado. Isso é tranquilo, vamos passo a passo:
- Seja a equação para um plano da forma ;
- No ponto do plano:
- No ponto do plano:
- No ponto do plano:
Vamos subtrair a equação da equação . Assim, temos
Substituindo o valor de na equação , encontramos que . Logo, a equação do plano se torna:
Usando a equação para substituir :
Passo 3
Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:
Onde e é a projeção da superfície no plano . Aqui, sabemos que faz parte do plano . Nesse problema, . Assim, temos:
Substituindo :
é a projeção da superfície , que acaba sendo um retângulo formado no plano pelos pontos e . Se olharmos para o gráfico, podemos definir os limites de integração de e .
Podemos definir como . Calculando a integral, temos:
Resposta
O trabalho feito é igual a .
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