Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.4 - Ex. 9

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desse livro

A população do mundo era de cerca de 6,1 bilhões em 2000. As taxas de natalidade naquela época variaram de 35 a 40 milhões por ano e as taxas de mortalidade variaram de 15 a 20 milhões por ano. Vamos supor que a capacidade de suporte para o mundo população é de 20 bilhões.

  1. Escreva a equação diferencial logística para esses dados.
  2. (Como a população inicial é pequena em comparação com a

    capacidade de carga, você pode considerar k como uma estimativa de

    a taxa de crescimento relativo inicial.)

  3. Use o modelo logístico para estimar a população mundial
  4. no ano de 2010 e comparar com a população real de 6,9 ​​bilhões.

  5. Use o modelo logístico para prever a população mundial

nos anos 2100 e 2500

Passo 1

Oiii, temos uma questão que vai exigir um pouco de nós agora. Temos que olhar para esse enunciado e tentar traduzir o que ele nos diz. No caso da questão a) vamos usar a expressão padrão para crescimento populacional é

d p d t = k p 1 - p M

Onde P é a nossa População

K é a taxa de crescimento

M é a capacidade de carga

O enunciado nos diz que podemos ignorar a parte p M para poder facilitar a descoberta de k ( medido em bilhões ) como :

d p d t = k p

k = 1 P d P d t

Vamos agora usar os dados do próprio enunciado para descobrir o valor k

d P d t =   Nascimento   –   Morte

d P d t = 40 - 20 → 20 (Milhões)

Mas nossa população esta em bilhão. Vamos mexer com nossos dados então

d P d t = 0,02

E nossa população inicial é

P = 6,1

Agora que já temos tudo. Vamos calcular k.

k = 1 P d P d t

k = 1 6.1 ⋅ 0.02 → 1 305  

Como já estimamos k. Vamos usar esse valor na nossa equação de crescimento completa

d p d t = 1 305 p 1 - p 20

Beleza \o/ conseguimos! Vamos para o próximo item.

Passo 2

Temos que resolver essa equação diferencial e encontrar p 10 . O próprio Stewart nos dá essa solução, cujo desenvolvimento se dá por de integração por partes, dizendo que

p t = M 1 + A e - k t

Onde

A = M + C C

Ou

A = M C + 1

E C   é nossa constante arbitraria de integração indefinida. Como o enunciado nos diz que M = 20 . Vamos plotar esse valor

A = 20 C + 1

Agora vamos descobrir a solução de p ( t )

p t = M 1 + A e - k t

p t = 20 1 + 20 C + 1 e - t 305

Beleza. Conseguimos uma expressão para a população. Mas temos ainda que descobrir C . Podemos usar dados de contorno para isso. O enunciado nos diz que P 0 = 6.1 bilhões (considerando o ano 2000 como nosso marco t   = 0 ). Bora calcular!

6.1 = 20 1 + 20 C + 1 ⋅ e 0

6.1 = 20 1 + 20 C + 1 ⋅ 1

6.1 1 + 20 C + 1 = 20

1 + 20 C + 1 = 20 6.1

20 C = 20 6.1 - 2  

C está no denominador. Vamos inverter essa fração e isolar C

C = 20 20 6.1 - 2  

C = 20 20 - 12.2 6.1

C = 610 39   ≈ 15.64

Então nossa função P t fica

p t = 20 1 + 20 15.64 + 1 e - t 305

Passo 3

b) Já conseguimos a expressão para o crescimento mundial em função do tempo. Vamos descobrir agora se nosso modelo bate com os dados testando em p ( 10 )

p 10 = 20 1 + 20 15.64 + 1 e - 10 305  

p 10 = 6,24 bilhões

Se formos comparar com os dados reais que em 2010 tínhamos 6,9 bilhões, então nossas estimativas estão subestimando nosso crescimento populacional real.

Passo 4

C) Sabemos que estamos subestimando os valores, mas se continuarmos com a mesma taxa de crescimento que nossa suposição, então nossa população mundial em 2100 será

p 100 = 20 1 + 20 15.64 + 1 e - 100 305  

Ou seja, teremos

p 100 = 7.57   bilhões

Lembrando que já ultrapassamos a marca de 7,7 bilhões em 2019. Rsrs. Batemos a meta 81 anos antes de nosso modelo matemático. A ONU (em 2019) melhorou nosso modelo populacional e estimou uma população de 11,2 bi em 2100.

Passo 5

Agora a última parte do nosso problema. Segundo nosso modelo, em 2500, ou seja, p 500 teremos

p 500 = 20 1 + 20 15.64 + 1 e - 500 305    

p 500 = 13,9 bi

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

  1. p t = 20 1 + 20 C + 1 e - t 305
  2. p 10 = 6,24 bilhões
  3. p 100 = 7.57   bilhões

p 500 = 13,9 bilhões

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