Enunciado

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C .

∮ C ( y + z 3 x 2 ) d x + 2 z + 5 x + y 3 d y + 4 y + z cos ⁡ x d z = - 16 3 6   π

Onde C é a curva obtida como interseção do parabolóide z = x 2 3 + 2 y 2 com o plano 3 z + 2 x = 5 .

Passo 1

Faalaa Zezé, bom dia cara.... Tudo pronto aí pra mais uma questãozinha de Stokes? Só vamo!

Não tem jeito, a gente precisa esboçar esses caras pra tentar achar a queridinha curva:

Aquele negocinho em azul é justamente a nossa cuja dita curva C . Vamos isolar ela pra dar uma despoluída no desenho:

Beeleza; então é sob essa curva que:

∮ C F   d r = - 16 3 6   π

Mas queremos provar se isso é verdade, para tanto devemos utilizar o teorema de Stokes, que diz o seguinte:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →     d s

Ou seja, o teorema transforma a integral de linha para uma integral de superfície. Mas quem é essa superfície?? A mais simples das possibilidades é:

Consegue notar a diferença entre a curva C e a superfície S ?? É sutíl mas é importante.

Beleza, então é sob essa superfície que vamos trabalhar.

Passo 2

Para poder tacar tudo na integral, precisamos achar aqueles caras lá.

Vamos começar com o rotacional; se você tiver com a memória em dia saberá que a gente encontra esse cara assim:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Onde:

F x , y , z = y + z 3 x 2 ⏟ F 1   ;   2 z + 5 x + y 3 ⏟ F 2   ;   4 y + z cos ⁡ x ⏟ F 3

Captou a ideia? Só precisamos encontrar essas derivadas parciais:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 4 - 2 = 2

  ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 3 x 2 z 2 + z sin ⁡ x

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 5 - 1 = 4

Top demais, então o tal ro rotacional é definido assim:

r o t F → =   2   ;   3 x 2 z 2 + z sin ⁡ x ; 4

Agora a outra criatura que precisamos para tacar na integral é o vetor normal. Perceba que o vetor normal a nossa superfície é na verdade normal ao plano   z = 5 3 - 2 x 3 . Olha só:

Já aproveitando para supor uma orientação da borda da nossa superfície. Uma vez definida a orientação (anti-horário) podemos encontrar o sentido do vetor normal.

Com a mão direita coloca ela na tela; faz o sinal de “jóia” , com os outros 4 dedos você percorre a curva no sentido que definimos, ou seja, faça com que os seus dedos tentem entrar na tela. Percebeu que seu dedão ta meio que na diagonal apontando pra lá esquerda? É esse o sentido do nosso vetor normal.

Beleza, mas como a gente define esse cara?? Então, encontrar um vetor normal a um plano é bem tranquilo, olha só:

“Seja um plano genérico: a x + b y + c z = d , O vetor normal a esse cara será: n → =   a   ; b ; c

Pegou a ideia?? Trazendo isso pro nosso problema, encontramos o seguinte vetor normal:

n → = 2 3   ; 0   ; 1

Show dibola.

Passo 3

Agora sim, finalmente podemos tacar tudo na integral:

∬ S   2   ;   3 x 2 z 2 + z sin ⁡ x ; 4   .   2 3   ; 0   ; 1     d s  

E fazendo o produto vetorial ali:

∬ S [ 2 2 3 + ( 3 x 2 z 2 + z sin ⁡ x )   0 + 4   1 ]   d s = ∬ S 16 3 d s

Tirando a constante:

16 3 ∬ S d s

Perceba que uma integral dupla daquele cara alí é a area de algo. Mas não pode ser a area no espaço, tem que ser a area de algo no plano pois a integral é dupla.

Com isso devemos projetar essa superfície em algum plano. Se optarmos pelo clássico plano x y teremos o seguinte:

16 3 ∬ P d x d y

Onde P é a projeção em questão. Sabemos que a projeção será dada pela interseção do parabolóide com o plano; então:

3 x 2 3 + 2 y 2 + 2 x = 5

x 2 + 2 x + 6 y 2 = 5

Se somarmos 1 em cada lado da igualdade:

x 2 + 2 x + 1 + 6 y 2 = 6

Repara que podemos simplificar assim:

x + 1 2 + 6 y 2 = 6

Passando o 6 dividindo:

x + 1 2 6 + y 2 = 1

Percebe o que é essa criança?? Isso mesmo uma elipse!

Isso significa que a projeção da nossa superfície no plano é uma elipse com a = 6 e b = 1 .

Se você tiver ligadasso comigo sabe que tudo o que precisamos é da area dessa elipse... lembra como a gente acha isso??

É bem tranquilo, é só você pensar que a elipse é uma circunferência só que com dois tamanhos para o raio...

Se a area da circunferência é π vezes raio, a elipse vai ser π   vezes raio 1 vezes raio 2; ou seja:

A r e a e l i p s e = a   b   π

Portanto:

16 3 ∬ P d x d y = 16 3 6 1 π

Concluindo:

∬ S r o t F →   .     n →     d s = 16 3 6   π

Poxa vida cara, mas não é isso aínão... o enunciado queria que fosse negativo!!

Siimm muito beem!! Você ta atento ao rolê!

A única questão é que o enunciado tomou outra orientação para o vetor normal. Ou seja, ele escolheu:

n → = - 2 3 ; 0   ; - 1

O enunciado optou pelo sentido horário, então basta que a gente altere o sinal da resposta.

É só isso!

Resposta

Concluindo, é verdade que:

∮ C ( y + z 3 x 2 ) d x + 2 z + 5 x + y 3 d y + 4 y + z cos ⁡ x d z = - 16 3 6   π

Onde C é orientada no sentido horário!!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 y 3 z i → + s e n ( x y z ) j → + x y z k → , S é a parte do cone y 2 = x 2 + z 2 que está entre os planos y = 0ey = 3
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = e - x i → + e x j → + ( e z ) k → , C é a fronteira da
Nos Exercícios 1-6, utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F ao redor da curva C na direção indicada.6. F = x 2 y 3 i + j + z k C: A interseção do ci
Circulação ao redor de uma circunferência F = x 2 + y i + x + y j + 4 y 4 - z k C: A circunferência na qual o plano z = - y encontra a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , em sentido anti-horário quando vista