Enunciado

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C .

∮ C 3 y + z d x + x + 4 y d y + 2 x + y d z = - 3 2 π a 2 4

Onde C é a curva obtida como interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 com o plano y + z = a .

Passo 1

Eaaeee... mais uma questãozinha para aplicarmos Stokes. Vamos juntos!

Rotina já, tentar esboçar a esfera e o plano pra enxergar onde esta a curva:

Teremos algo parecido com isso. Vamos agora isolar a nossa queridinha curva:

Beleza! Essa é a cujo dita, tal que:

∮ C F →   d r   = - 3 2 4   π a 2

Para demonstrar se esse resultado aí é verdade ou não, vamos aplicar Stokes:

∮ C F →   d r = ∬ S F →   .     n →   d s

Só que o teorema não trabalha mais sob a curva, ele funciona sob uma superfície S fechada, cuja borda seja a curva C . Em outras palavras, uma das possibilidades de superfície é:

A diferença é sutíl.. mas é importante saber.

Superficie ta Ok; vamos atrás dos outros caras que tão dentro da integral. Bora!

Passo 2

Vamo começar com o rotacional. Lembrando que o nosso campo nesse exercício foi dado por:

F x , y , z = 3 y + z ⏟ F 1   ;   x + 4 y ⏟ F 2   ;     2 x + y ⏟ F 3

E não podemos esquecer nunca que o rotacional é obtido assim:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então tudo que precisamos fazer é encontrar essas derivadas parciais:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 1 - 0 = 1

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 1 - 2 = - 1

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 3 = - 2

Portanto nosso rotacional será:

r o t F → = 1   ; - 1   ; - 2

Tranquilo demais até aqui né?!

Agora a próxima criatura que devemos achar é o vetor normal. Repare que o vetor normal à nossa superfície nada mais é do que o vetor normal ao plano y + z = a .

Vê se na imagem fica claro:

Repare que, além do vetor ser normal ao plano, tomamos a orientação da curva como sendo no sentido anti-horário. E definindo isso percebemos que o vetor normal está meio que apontado para a nossa esquerda.

OBS: Lembra como encontra isso? Com a mão direita coloca ela na tela; faz o sinal de “jóia” , com os outros 4 dedos você percorre a curva no sentido que definimos, ou seja, faça com que os seus dedos tentem entrar na tela. Percebeu que seu dedão ta apontando pra esquerda e um bocado inclinado? É o sentido do nosso vetor.

Então tá, ele é mesmo normal ao plano. Agora você lembra que num plano genérico qualquer:   b x + c y + d z = a

O vetor normal à ele será: n → = b   ; c   ; d .

Portanto trazendo isso pro nosso pobleminha:

n → = 0   ; 1   ; 1

Então já temos o seguinte:

∬ S 1   ; - 1   ; - 2   .   0   ; 1   ; 1   d s = ∬ S - 1 + - 2 d s = - 3 ∬ S d s

Passo 3

No final das contas sobrou pra gente encontrar aquela integralzinha ali. Repare que ela representa a area de uma curva:

∬ P d s = Á r e a

Portanto, devemos projetar a nossa superfície no plano. Optando pelo plano z x , teremos o seguinte:

Pegou a ideia?? Então no final das contas o que queremos é a area dessa elipse.

Mas vamos quem é essa elipse?? Precisamos saber a forma matemática dela; basta então tomar a interseção, olha só:

y = a - z

Como escolhemos o plano x z temos que definir ela somente em termos desses caras:

x 2 + a - z 2 + z 2 = a 2

x 2 + 2 z 2 - 2 a z = 0

Dividindo por 2:

x 2 2 + z 2 - a z = 0

Temos que fazer isso nos lembrar a equação de uma elipse, certo? Uma das forma é somando o termo a 2 4 em ambos os lados da igualdade:

x 2 2 + z 2 - a z + a 2 4 = a 2 4

Repare que:

z 2 - a z + a 2 4 = z - a 2 2

Então:

x 2 2 + z - a 2 1 = a 2 4

E como na equação da elipse sempre deixamos o 1 após o igual:

x 2 a 2 / 2 + z - a 2 2 a 2 / 4 = 1

Agora, lembra que a area de uma elipse é quase igual a de uma circunferência, com o detalhe de que na elipse temos “dois” raios (nunca diga isso pro seu professor; acho que ele não vai curtir muito. Mas é uma boa forma de lembrar)

Então:

∬ P d x d z = a   b   π = a 2   . a 2     .   π = a 2 π 2 2

Ta quase parecido com o resultado que o enunciado pediu, se racionalizarmos:

A = a 2 π 2 2   . 2 2 = 2 π a 2 4

Lembrando ainda que tínhamos um (-3) né?!

Portanto:

∬ S r o t F →   .   n →   d s = - 3 2 4   π a 2

Exatamente como queríamos demonstrar.

Resposta

Mostramos ser verdade que:

∮ C F →   d r = - 3 2 4   π a 2

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