Enunciado

Uma partícula move-se com aceleração a t m/s² ao longo de um eixo s e tem velocidade v 0 m/s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo dados.

a t = - 2 ;         v 0 = 3 ;           1 ≤ t ≤ 4

Passo 1

Vamos lá, sabemos que a aceleração o a velocidade são das formas:

a t = d v t d t

v t = s t d t

Usando a equação da aceleração:

a t = d v t d t → - 2 = d v t d t → - 2 d t = d v t

Vamos integrar os dois lados para encontrar a equação da velocidade:

∫ - 2 d t = ∫ d v t → ∫ - 2 d t = ∫ a t d t → - 2 t + C = v t

Para achar a constante C vamos usar a velocidade v 0 m/s no instante t = 0 :

v 0 = - 2 ⋅ 0 + C = 3 → C = 3

Assim, a velocidade é da forma:

v t = - 2 t + 3

Passo 2

Pronto, temos que o deslocamento é a integral da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, e para encontrar o deslocamento vamos integrar a expressão da velocidade usando os limites de integração como os extremos do intervalo, vamos lá:

s t = ∫ 1 4 - 2 t + 3 d t = - t 2 + 3 t 1 4 = - 4 2 + 3 ⋅ 4 - - 1 2 + 3 ⋅ 1 =

= - 16 + 12 - - 1 + 3 = - 4 - 2 = - 4 - 2 = - 6

Pronto, o deslocamento é de - 6 m.

Passo 3

Já a distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, que vai a expressão com módulo, da forma:

s t = ∫ 1 4 - 2 t + 3 d t

Como a expressão tem módulo, vamos achar onde ela é negativa e onde é positiva igualando a zero e analisando:

- 2 t + 3 = 0 → 2 t = 3 → t = 3 2

Temos então que a função dentro do módulo é positivo para valores 1 ≤ t < 3 2 e negativa para 3 2 < t ≤ 4 , assim vamos dividir a integral em duas, uma primeira com sinal negativo para poder ter resultado positivo e a segunda positiva:

s t = ∫ 1 4 - 2 t + 3 d t = ∫ 1 3 2 - 2 t + 3 d t + ∫ 3 2 4 - - 2 t + 3 d t = - t 2 + 3 t 1 3 2 - - t 2 + 3 t 3 2 4 =

= - 3 2 2 + 3 ⋅ 3 2 - - 1 2 + 3 ⋅ 1 - - 4 2 + 3 ⋅ 4 - - 3 2 2 + 3 ⋅ 3 2 =

= - 9 4 + 9 2 - - 1 + 3 - - 16 + 12 - - 9 4 + 9 2 =

= - 9 + 18 4 - 2 - - 4 - - 9 + 18 4 = 9 - 8 4 - - 4 - 9 4 = 1 4 - - 16 - 9 4 =

= 1 4 - - 25 4 = 1 4 + 25 4 = 26 4 = 13 2

E a distância percorrida é de 13 2 m.

Resposta

- 6 m e 13 2 m

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