Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar a menor solução positiva de sen ⁡ x + cos ⁡ x = 0 .

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, das funções trigonométricas:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Vamos calcular f ' x :

f ' x = sen ⁡ x + cos ⁡ x ' = cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - sen ⁡ x n + cos ⁡ x n cos ⁡ x n - sen ⁡ x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 1 = 2 - sen ⁡ 2 + cos ⁡ 2 cos ⁡ 2 - sen ⁡ 2 = 2 , 3 720643741

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 1 = 2 , 3 720643741 - sen ⁡ 2 , 3 720643741 + cos ⁡ 2 , 3 720643741 cos ⁡ 2 , 3 720643741 - sen ⁡ 2 , 3 720643741 ≈ 2 , 3 561931578

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 1 = 2 , 3 561931578 - sen ⁡ 2 , 3 561931578 + cos ⁡ 2 , 3 561931578 cos ⁡ 2 , 3 561931578 - sen ⁡ 2 , 3 561931578 ≈ 2 , 3 561 944902

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 1 = 2 , 3 561944902 - sen ⁡ 2 , 3 561944902 + cos ⁡ 2 , 3 561944902 cos ⁡ 2 , 3 561944902 - sen ⁡ 2 , 3 561944902 ≈ 2 , 3 561944902

Pronto, o valor não varia mais, então a menor raiz positiva é 2 , 3 561944902 .

Resposta

A menor raiz positiva é 2 , 3 561944902

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Encontre d y d x : y = a r c cos ⁡ x + 1 2
Encontre d y d x : y = a r c cos ⁡ c o s ⁡ ( x )
Encontre d y d x : y = a r c tg ⁡ x 3
Encontre d y d x : y = l n ⁡ ( a r c cos ⁡ x )
Encontre d y d x : y = 1 a r ct g ( x )