Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.

a t = t - 2 ,           s 0 = 1 ,       v 0 = 3

Passo 1

Olá, meu querido e nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma aplicação das derivadas e integrais, e onde você irá aprender as relações entre a equação do espaço, velocidade e aceleração.

A aceleração é a segunda derivada da posição:

a t = s ' ' ( t )

E a velocidade é a derivada da posição:

v t = s ' ( t )

Senso assim:

a t = v ' ( t )

Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada. Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar s ' ( t ) , a velocidade. Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição s ( t ) .

Passo 2

Primeiramente encontramos v t achando a antiderivada da aceleração, pois a t = v ' ( t ) .

A antiderivada de uma potência de x é diferente de 1 / x e é dada pela fórmula:

f ' x = x n ⇒ f x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

a t = v ' t = t - 2

v t = t 2 2 - 2 t + C

Com a velocidade inicial encontramos C :

v 0 = 3 ⇒ C = 3

Então:

v t = t 2 2 - 2 t + 3

Passo 3

Agora achamos a antiderivada da velocidade, que é a posição:

s ' t = v t = t 2 2 - 2 t + 3

s t = 1 2 t 3 3 - 2 t 2 2 + 3 t + D

= t 3 6 - t 2 + 3 t + D

Com a posição inicial achamos D :

s 0 = 1 ⇒ D = 1

Então temos finalmente a função posição:

s t = t 3 6 - t 2 + 3 t + 1

Resposta

s t = t 3 6 - t 2 + 3 t + 1

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