Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

a t = 3   c o s t - 2   s e n   t ,     s 0 = 0 ,     v 0 = 4

Passo 1

Nesse caso, temos a aceleração a ( t ) e buscamos a posição s ( t ) .

Sabemos que a aceleração é dada pela derivada segunda da posição.

Ao acharmos a primitiva de a ( t ) encontraremos v ( t ) , e aí basta encontrarmos a primitiva de v ( t ) para encontrarmos s ( t ) .

A primitiva de s e n   x é - cos ⁡ x e a de cos ⁡ x   é   s e n   x , aí é só aplicar no nosso caso.

(E lembre de somar a constante)...

Passo 2

v t = 3 s e n   t - 2 ( - cos ⁡ t ) + C

v t = 3   s e n   t + 2 cos ⁡ t + C

Usando a informação que v 0 =   4 , temos:

v 0 = 3   s e n   0 + 2 cos ⁡ 0 + C = 4

0 + 2 + C = 4

C = 2

Então,

v t = 3   s e n   t + 2 cos ⁡ t + 2

Passo 3

Vamos repetir o processo para encontrar s ( t ) ...

s t = 3 ( - cos ⁡ t )   + 2 s e n   t + 2 t + D

s t =   - 3 cos ⁡ t + 2   s e n   t + 2 t + D

Usando informação de que s 0 = 0 ...

s 0 =   - 3 cos ⁡ 0 + 2   s e n   0 + 2 0 + D = 0

- 3 + D = 0

D = 3

Sendo assim, a posição é dada por:

s t = - 3 cos ⁡ t + 2   s e n   t + 2 t + 3

Resposta

s t = - 3 cos ⁡ t + 2   s e n   t + 2 t + 3

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