Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma curva cuja equação é:

x y 3 1 + y 2 = 8 5

Suponha que a coordenada x esteja crescendo a uma taxa de 6   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o quando a partícula estiver no ponto ( 1 ,   2 ) .

(a) Com que taxa estará variando a coordenada y do ponto naquele instante?

(b) Naquele instante, a partícula estará subindo ou descendo?

Passo 1

Falaaa meu abigo, a primeiro coisa que vamos fazer é entender os dados. Quando o enunciado fala que que a coordenada x esteja crescendo a uma taxa de 6   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o , está nos dizendo basicamente que:

d x d t = 6   u n i d a d e s / s

E como está crescendo, é positivo mesmo 😉

(a) Quando pergunta a que taxa estará variando a coordenada y ,   já da a dica que estamos interessados no d y d t .   Pra esse cara aparecer vamos ter que derivar em relação ao tempo a expressão que o enunciado nos da.

Passo 2

Vamos organizar melhor antes de derivar:

x y 3 1 + y 2 = 8 5                                       ⇒                               5 x y 3 = 8   ( 1 + y 2 )

Derivando...

d 5 x y 3 d t = d 8   1 + y 2 d t

5   d x y 3 d t = 8   d 1 + y 2 d t

Pelas propriedades de derivadas e regrada derivada do produto:

5   d x d t y 3 + d y 3 d t x = 8 d ( 1 ) d t + d y 2 d t  

Como derivada de constante é zero, e usando a regra da cadeia:

5   d x d t y 3 + d y d t 3 y 2 x = 8 2 y d y d t

  5 y 3 d x d t + 15 y 2 x d y d t = 16 y d y d t                         e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 3

Então partiu colocar os dados que a gente tem dentro dessa equação (1)? Usando o ponto ( 1,2 ) que é o instante desejado.

5 y 3 d x d t + 15 y 2 x d y d t = 16 y d y d t

5 2 3 ( 6 ) + 15 2 2 ( 1 ) d y d t = 16 ( 2 ) d y d t

Dividindo todos os termos por 2 2 :

5 ( 2 ) ( 6 ) + 15 d y d t = 4 ( 2 ) d y d t

60   +   15 d y d t = 8 d y d t

7 d y d t = - 60

d y d t =   - 60 7   u n i d a d e s / s

(b) Como d y d t < 0 , y está diminuindo, logo a partícula está descendo 😊

Resposta

(a) - 60 7   u n i d a d e s / s

(b) descendo

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