Enunciado

Um ponto P move-se ao longo de uma curva cuja equação é   y = x 3 + 17 .   Quando P está em ( 2 ,   5 ) ,   y está crescendo a uma taxa de 2   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o . Com que rapidez x está variando?

Passo 1

Já que a questão começa falando sobre o quão rápido os pontos se movem, e nos pergunta sobre taxa de variação, parece uma boa ideia derivar aquela equação ali em relação ao tempo ne? Fazendo isso fica assim:

d y d t = d x 3 + 17 d t

Pela Regra da Cadeia, teremos:

d y d t = d x 3 + 17 d x d x d t

d y d t = 1 2 x 3 + 17 ( x 3 + 17 ) ' d x d t

d y d t = 1 2 x 3 + 17 ( 3 x 2 ) d x d t

d y d t = 3 x 2 2 x 3 + 17 d x d t                       e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

A questão pergunta pra gente com que rapidez x está variando, ou seja, estamos interessados em descobrir o d x / d t , no instante em que o ponto P   está em ( 2 ,   5 ) , ou seja, x = 2 e y = 5 .

Além disso o enunciado nos diz que y está crescendo a uma taxa de 2   u n i d a d e s   p o r   s e g u n d o , então:

d y d t = 2   u n i d a d e s / s

Passo 3

Substituindo todos esses valores na equação (1), vamos ter:

d y d t = 3 x 2 2 x 3 + 17 d x d t                      

2 = 3 2 2 2 2 3 + 17 d x d t    

2 = 12 2 8 + 17 d x d t

1 = 6 2 25 d x d t                      

d x d t = 2 25 6 =   5 3   u n i d a d e s / s

Resposta

  5 3   u n i d a d e s / s

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