Enunciado

Uma partícula move-se com uma velocidade de v t   m / s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

  1. v t = t 3 - 3 t 2 + 2 t ,   0 ≤ t ≤ 3
  2. v t = t - 2 ,     0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

  1. Deslocamento:
  2. ∫ 0 3 t 3 - 3 t 2 + 2 t   d t = t 4 4 - t 3 + t 2 0 3 = 81 4 - 27 + 9 = 9 4

    O deslocamento então foi de 9 4 m .

    E a distância?

    d i s t â n c i a = ∫ 0 3 | t 3 - 3 t 2 + 2 t |   d t    

    Vamos dividir agora o intervalo onde a função é positiva e onde é negativa.

    t 3 - 3 t 2 + 2 t > 0

    t t 2 - 2 t + 2 > 0

    t > 0

    t 2 - 2 t + 2 > 0     ( i s s o   a q u i   v a l e   p a r a   t o d o   x )

    Então...

    Passo 3

    A nossa integral vai ficar:

    d i s t â n c i a = ∫ 0 3 t 3 - 3 t 2 + 2 t   d t

    Que é a mesma integral que a gente fez ali em cima, então a distância também é 9 4 m .

    Passo 4

  3. Bora fazer a mesma coisa:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 0 3 t - 2   d t

= 2 3 t 3 2 - 2 t 0 3

= 2 3 3 3 2 - 2 ( 3 )

= 2 3 - 6

O deslocamento então foi 2 3 - 6   m (deslocamento pode ser negativo).

Passo 3

Vamos pra distância agora:

d i s t â n c i a =   ∫ 0 3 t - 2   d t

Vamos ver de novo o intervalo de onde é positivo e onde é negativo:

t - 2 ≥ 0

t ≥ 2

t ≥ 4

Ou seja, no nosso caso, a gente tem:

∫ 0 3 2 - t   d t

2 t - 2 3 t 3 2 0 3

= 6 - 2 3 3 3 2

= 6 - 2 3

E acabamos por aqui😉

Resposta

  1. Deslocamento: 9 4 m e distância: 9 4 m
  2. Deslocamento: 2 3 - 6   m e distância: 6 - 2 3   m
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Prove a terceira lei dos logaritmos. [Sugestão: Comece mostrando que ambos os lados da equação têm a mesma derivada].
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Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ c o s s e c 3 x 2 d x
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Calcule a integral definida abaixo: ∫ 0 1 8 s 3 - 12 s 2 + 5 d s