Enunciado

Mostre que, para qualquer valor da constante a , a função y   =   s e n h   ( a x ) satisfaz a equação y ' '   =   a 2 y .

Passo 1

Olha, para gente confirmar se um valor é uma solução de uma equação, a gente substitui ele na equação e vê se a igualdade faz sentido.

A gente pode fazer exatamente isso. Substituir y = s e n h   ( a x ) na equação y ' ' = a 2 y   e ver se faz sentido.

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro a gente precisa chegar na derivada segunda de y = s e n h ( a x ) .

Precisamos usar a regra da cadeia e lembrar que s e n h   x ' = cosh ⁡ x :

y ' = a cosh ⁡ ( a x )

Derivando de novo e lembrando que cosh ⁡ x ' = s e n h   x :

y ' = a 2 s e n h   ( a x )

Passo 3

Agora a gente substitui y e y ' ' na equação:

y ' ' = a 2 y

Fazendo as substituições:

( a 2 s e n h   ( a x ) ) = a 2 ( s e n h   ( a x ) )

a 2   s e n h   a x = a 2   s e n h   ( a x )

A gente vê que um lado está igualzinho ao outro, então realmente y = s e n h   ( a x ) é uma solução dessa equação, e isso não depende do valor de a .

Resposta

Prova nos passos

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