Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 1 8 s 3 - 12 s 2 + 5 d s

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

∫ 0 1 8 s 3   d s -   ∫ 0 1 12 s 2   d s +   ∫ 0 1 5   d s

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

∫ 0 1 8 s 3   d s -   ∫ 0 1 12 s 2   d s +   ∫ 0 1 5   d s =

= 8 ∫ 0 1 s 3   d s -   12 ∫ 0 1 s 2   d s +   5 ∫ 0 1   d s   =   8 s 4 4 1 0 - 12 s 3 3 1 0 + 5 ( s ) 1 0

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

8 1 4 - 0 - 12 1 3 - 0 + 5 1 - 0 = 2 - 4 + 5 = 3

Resposta

3

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