Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 13.7 - Ex. 2a

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desse livro

Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a:

x4 – y4 = 2xy

Passo 1

Primeiramente, sabemos que:

Logo, na primeira parcela:

X4 – y4 = (x² + y²) (x² - y²) = ρ 2 ρ 2 c o s 2 θ - ρ 2 s e n 2 θ = ρ 4 (cos²( θ ) - s e n ² ( θ ) )

Sabemos que cos²( θ ) - s e n ² ( θ ) = cos( 2 θ ) , e portanto X4 – y4 = ρ 4 cos( 2 θ )

Passo 2

Do outro lado, temos que 2xy = 2 ρ 2 s e n θ c o s ⁡ ( θ )

Sabemos que 2   s e n θ c o s ⁡ ( θ ) = sen(2 θ ) e portanto, 2xy = 2 ρ 2 s e n θ c o s ⁡ ( θ ) = ρ 2 sen(2 θ )

Igualando as equações, temos que:

ρ 2 sen(2 θ ) = ρ 4 cos( 2 θ )

Logo: ρ 2 = t g ( 2 θ )

Passo 3

Para esboçar o gráfico, utilizaremos uma tabela de valores que nos ajudará a entender o comportamento da curva:

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

ρ 2 = t g ( 2 θ )

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