Enunciado

15. Uma peça de metal, com formato de cone de equação z 2 - x 2 9 - y 2 = 0 ,   z ≥ 0 deve ser apoiada numa haste de ponto P 0 = 9,4 , 5 , de modo que a haste fique perpendicular à superfície do cone.

a) Determine a equação do plano tangente ao cone no ponto P .

Passo 1

Para calcula a equação do plano tangente, precisamos de um ponto que pertence à superfície e um vetor tangente.

O ponto nós já temos e para obter um vetor tangente à superfície, basta considerá-la como o gráfico de uma função e calcular o vetor gradiente. Desta forma:

f x , y , z = w = z 2 - x 2 9 - y 2

Calculando o vetor gradiente:

∇ f P = ( - 2 x 9 , - 2 y , 2 z )

Para obter um vetor normal no ponto P , basta calcular ∇ f P 0 .

n → = ∇ f P 0 = ( - 2 , - 8,10 )

A equação do plano é dada por:

( v - P )   .   n →

onde v = ( x , y , z ) .

Sendo assim, temos que a equação do plano é dada por:

x - 9 , y - 4 , z - 5   .   - 2 , - 8,10 = - 2 x + 18 - 8 y + 32 + 10 z - 50 = - 2 x - 8 y + 10 z

Resposta

- 2 x - 8 y + 10 z

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Dentre todos os pontos no gráfico de z = 10 – x2 – y2 que estãoacima do plano x + 2y + 3z = 0, encontre o ponto mais distanteno plano.
Encontre o ponto no gráfico de z = x2 + y2 + 10 mais próximodo plano x + 2y – z = 0.