Enunciado

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Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16   c m / s . Qual a taxa segundo a qual a região esta aumentando quando o raio for 4   c m .

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Nessa questão estamos lidando com a expansão de um círculo, pois esse é o formato que se vê quando uma pedra cai num lago, esses circulo (ondas) tem um raio que aumenta a uma velocidade de 16   c m / s , o que queremos é a velocidade com que a área aumenta quando o raio for 4   c m

Anotando teremos:

d r d t   = 16

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

Esse problema será mais simples pois temos menos variáveis, observe que o raio do círculo está em função do tempo

Passo 4

A relação para se usar aqui é a da área do círculo, que é a derivada em quem estamos interessados.

A t = π ⋅ r 2

Passo 5

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

A t = π r 2

Derivando implicitamente em relação a t :

d A d t = 2 π r ⋅ d r d t

Substituindo os valores:

d A d t = 2 π r ⋅ d r d t = 2 π ⋅ 4 ⋅ 16 = 120 π

Como trabalhamos todo o tempo com c m sendo unidade de comprimento e com segundos sendo a de tempo, a resposta estará em c m / s

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d A d t = 120 π   c m / s

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