Enunciado

Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções:

f x = x 5 - 125 3 x 3

Passo 1

Vamos começar encontrando os pontos críticos da função. Pra isso, vamos derivá-la e igualar a 0 . Os valores de x que atenderem essa equação são os pontos candidatos a serem máximos ou mínimos.

A nossa função é:

f x = x 5 - 125 3 x 3

Derivando,

f ' x = 5 x 4 - 125 x 2

Igualando a zero,

5 x 4 - 125 x 2 = 0

x 2 ( x 2 - 25 ) = 0

Os pontos críticos são:

x = 0

x = 5

x = - 5

Passo 2

Agora vamos investigar se eles são pontos de máximo ou ponto de mínimo. Vamos calcular as próximas derivadas nesses pontos, até que uma delas dê diferente de 0 .

Para x = 0 :

f ( 2 ) x = 20 x 3 - 250 x → f 2 0 = 0

f ( 3 ) x = 60 x 2 - 250 → f 3 0 = - 250

Opa, deu um valor negativo, e a derivada é de ordem par ( 3 ) , então esse é um ponto de inflexão.

Para x = 5 :

f ( 2 ) x = 20 x 3 - 250 x → f 2 5 = 1250

Já deu um valor positivo, e a derivada é de ordem par ( 2 ) , então esse é um ponto de mínimo.

Para x = - 5 :

f ( 2 ) x = 20 x 3 - 250 x → f 2 - 5 = - 1250

Aqui achamos um valor negativo para uma derivada de ordem par ( 2 ) , então esse é um ponto de máximo.

Resposta

x = 5 é ponto de mínimo;

x = - 5 é ponto de máximo.

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