Enunciado

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = 8,2 3

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função x 3

f ' x = 1 3 x 3 2

f ' ' x = - 2 9 x 3 5

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 8 , além de f ( x 0 )

f 8 = 8 3

f 8 = 2

f ' ( 8 ) = 1 3 8 3 2

f ' 8 = 1 12

f ' ' 8 = - 2 9 8 3 5

f ' ' 8 = - 1 144

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 8 + f ' 8 x - 8 + f ' ' 8 2 x - 8 2

O polinômio vai ficar:

f x = 2 + 1 12 x - 8 - 1 288 ( x - 8 ) ²

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = 8,2 3 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 8 , 2

P 2 8,2 = 2 + 1 12 x - 8 - 1 288 ( x - 8 ) ²

P 2 8,2 = 2,01652777

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 8,2

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = 10 27 x 3 8

f 8,2 = 8,2 3

P x = P 2 8,2 = 2,01652777

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 27 . 6 8 3 8 | 8,2 - 8 | 3

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 0,00000578703

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 - 5

Resposta

P 2 8,2 = 2,01652777

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 - 5

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