Enunciado

Uma pessoa P, partindo da origem, move-se na direção positiva do eixo x, puxando um peso ao longo da curva C (chamada tratriz), como mostrado na figura 1.24. O peso, inicialmente localizado no eixo y em ( 0 , s ) , é puxado por uma corda de comprimento s , que é mantida esticada durante todo o movimento. Encontre a equação diferencial da trajetória do movimento. [Sugestão: A corda fica sempre tangente a C, considere o ângulo de inclinação θ como mostrado na figura.]

Passo 1

Nesse problema, temos um esquema assim:

A pessoa P saiu da origem e ta carregando um peso que ta ao longo da curva C . Ela ta puxando esse peso por uma corda de comprimento s que fica sempre esticada. Bom, de uma coisa já sabemos: a corda fica sempre tangente à curva C.

Agora, precisamos encontrar a equação diferencial que define a trajetória do movimento, vamos lá?

Passo 2

Como a reta s é sempre tangente à curva C , vamos lembrar de derivadas: a inclinação de uma reta tangente a uma curva é a derivada da curva naquele ponto. Dessa forma, temos:

d y d x = t a n ⁡ ( θ )

Agora vamos pensar o seguinte:

Por trigonometria, temos

tan ⁡ 2 π - θ = C O C A

tan ⁡ 2 π - θ = y P c

Fazendo Pitágoras, temos

s 2 = y 2 + P c ²

P c 2 = s 2 - y ²

P c = s 2 - y 2

Substituindo:

tan ⁡ 2 π - θ = y s 2 - y ²

Passo 3

Beleza, chegamos nisso aqui:

tan ⁡ 2 π - θ = y s 2 - y ²

Vamos dar uma desenvolvida

De identidades trigonométricas, sabemos que tan ⁡ a - b = tan ⁡ a - t a n ⁡ ( b ) 1 + tan ⁡ a . t a n ⁡ ( b )

Então:

tan ⁡ 2 π - t a n ⁡ ( θ ) 1 + tan ⁡ 2 π . t a n ⁡ ( θ ) = y s 2 - y ²

Substituindo os valores:

0 - t a n ⁡ ( θ ) 1 + 0 . t a n ⁡ ( θ ) = y s 2 - y ²

- tan ⁡ θ = y s 2 - y ²

tan ⁡ θ = - y s 2 - y ²

Mas lá no passo 2, vimos que d y d x = t a n ⁡ ( θ ) , então:

d y d x = - y s 2 - y ²

Resposta

d y d x = - y s 2 - y ²

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