Enunciado

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região.

4 - y 2 . y ' = x ²

Passo 1

Nos problemas de 1 a 10, vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação 4 - y 2 . y ' = x ²

d y d x = x 2 4 - y ²

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = x 2 4 - y ²

E, nesse caso, usando a regra do quociente:

∂ f ∂ y = 2 x ² y ( 4 - y 2 ) ²

Que não está definida para os valores de y que zeram o denominador. Esses valores são:

y = - 2       e       y = 2

Então, d y d x = x 2 4 - y ² vai ter solução única nas regiões em que

y < - 2

- 2 < y < 2

y > 2

Resposta

y < - 2

- 2 < y < 2

y > 2

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