Enunciado

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9. Uma pipa está voando a uma altura de 40m. uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m / s . Se a linha estiver esticada, com qu velocidade a linha estará sendo “dada’’, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50 m ?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Uma ilustração do que a questão está dizendo:

Variaveis:

z – tamanho da linha da pipa d z d t   é a velocidade com que essa linha é “dada”.

X – distancia horizontal da pipa até o ponto inicial da pipa d x d t   é a velocidade da pipa.

Constantes:

y- distancia da pipa até o chão

Interpretando os dados que a questão deu:

A questão nos deu a velocidade da pipa:

d x d t = 3 m / s

E quer saber d z d t   quando o tamanho da linha for 50m.

Passo 2

A equação que descreve o problema é a nossa conhecida fórmula de Pitágoras:

  z 2 = x 2 + y 2

Mas muito cuidado, esse y é constante, então, a derivada de y é zero.

Passo 3

Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.

Derivando em ambos os lados em relação a t:

2 z ⋅ d z d t = 2 x ⋅ d x d t + 0

Isolando d z d t :

d z d t   = x z ⋅ d x d t  

Eitaaaa, já sabemos quem é d x d t e z, mas e x??

Teremos que usar Pitágoras novamente para encontrarmos essse danado do x:

z 2 = x 2 + y 2

50 2 = x 2 + 40 2

x 2 = 2500 - 1600

x 2 = 900

x = 900 = 30 m

Voltando para as nossas derivadas:

d z d t   = 30 50 ⋅ 3  

d z d t   = 9   5   m / s        

Resposta

d z d t   = 9   5   m / s        

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