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11. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8 c m 3 / m i n . Ache a taxa segundo a qualo raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Variaveis:

V – volume

D –Diâmetro

r- raio

Interpretando os dados que a questão deu:

d V d t = 8 c m 3 / m i n .

Ele pede a taxa de crescimento do raio, isto é, d r d t quando o diâmetro for 4 ou   r = 2 , pois D = 2 r .

Passo 2

Precisamos encontrar uma fórmua que relacione volume da esfera com o seu raio, mas aí é muito simples, é só lembrarmos da fórmula do volume da esfera:

  V = 4 π r 3 3

Passo 3

Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.

Derivando em ambos os lados em relação a t:

d V d t   = d d t 4 π r 3 3

4 π 3 é constante então pode sair da derivada,

d V d t   = 4 π 3 ⋅ d d t r 3

d V d t   = 4 π 3 ⋅ 3 r 2 ⋅ d r d t

d V d t   = 4 π r 2 d r d t

Passo 4

O que queremos é d r d t , então isolando isso:

d V d t   = 4 π r 2 d r d t

d r d t   = d V d t 4 π r 2

Substituimos o que temos aqui:

d r d t   = 8 4 π 2 2

Logo,

d r d t   = 1 2 π c m / m i n

Resposta

d r d t   = 1 2 π c m / m i n

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