Enunciado

Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a

Passo 1

Podemos ilustrar a situação da seguinte forma

Então, sabemos que a pressão varia em função da altura onde um ponto está dentro do recipiente, ou seja, pontos há mesma altura, possuem a mesma força sendo exercida sobre a parede, então precisamos escrever a força como uma soma de Riemann (note que a F = ∂ A d ). A base do triângulo mostrado na figura é dada por, então, w i = 2 - 2 3 x i * e podemos escrever a área como (fizemos por semelhança de triângulos)

A = 2 - 2 3 x i * ∆ x

Então a força

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ∂ x i * ⋅ 2 - 2 3 x i * ∆ x

Temos que ∂ = ρ g = 9800   N

Então, podemos escrever como uma integral

F = ∫ 0 3 ∂ x 2 - 2 3 x d x = ∂ ∫ 0 3 2 x - 2 3 x 2 d x = ∂ x 2 - 2 3 3 x 3 0 3 = ∂ 3 - 2 - 0 = ∂ = 9,8   k N

Resposta

F = 9,8   k N

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