Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + ( x - 1 ) y ' - 2 y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + ( x - 1 ) y ' - 2 y = r 2 c 0 x r - 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r c k - k + r c k + ( k + r - 3 ) c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r ² = 0

k + r - 2 k + r c k + k + r - 3 c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0

Então:

c k = - k - 3 c k - 1 k k - 2 ,   k = 4,5 , 6 …

Então, nossa solução geral é

y = c 2 x ²

Resposta

y = c 2 x ²

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