Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x x - 2 y ' ' + y ' - 2 y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x x - 2 y ' ' + y ' - 2 y = - 2 r 2 + 3 r c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ k + r - 1 k + r c k - 2 c k - ( k + r - 1 ) ( 2 k + 2 r - 1 ) c k - 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

- r ( 2 r - 3 ) = 0

k + r k + r - 1 - 2 c k - ( k + r + 1 ) ( 2 k + 2 r - 1 ) c k + 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 3 2 e r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 3 2 e r = 0

Usando r = 3 2 , temos

c k + 1 = 2 k - 1 4 ( k + 1 ) c k ,   k = 0 ,   1 ,   2 …

E então:

c 1 = - 1 4 c 0

c 2 = - 1 32 c 0

c 3 = - 1 128 c 0

Enquanto para r = 0 temos:

c k + 1 = k - 2 2 k - 1 c k ,   k = 0 ,   1 ,   2 …

Então:

c 1 = 2 c 0

c 2 = - 2 c 0

c 3 = 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x 3 2 1 - 1 4 x - 1 32 x 2 - 1 128 x ³ + … + C 2 1 + 2 x - 2 x ²

Resposta

y = C 1 . x 3 2 1 - 1 4 x - 1 32 x 2 - 1 128 x ³ + … + C 2 1 + 2 x - 2 x ²

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