Enunciado

Os polinômios de Legendre podem ser escritos como

P n = ∑ k = 0 [ n 2 ] - 1 k 2 n - 2 k ! 2 n k   ! n - k ! n - 2 k !   x n - 2 k

Em que [k/2] é o maior inteiro menor ou igual a n/2. Verifique esse fato para n=1,2,3,4 e 5.

Passo 1

Se repararmos, no livro-texto, nós temos no capítulo 6 as duas equações necessárias para exemplificar o fato desejado. Nós temos:

y 1 = c 0 ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n + 2 ! x n ,   x < ∞   e   y 2 = c 2 x - 2 ∑ n = 2 ∞ 2 n - 2 ! n ! x n

Passo 2

Por conta disso, se pararmos para reparar, uma inspeção detalhada de y2 revela que y2 é múltiplo de y1. Se fizermos k=n-2, nós encontraremos que o método de Frobenius nos dá somente uma solução em série para a equação diferencial que está em questão.

Assim, provamos que o fato para n = 1,2,3,4 e 5 estará contido em y2, demonstrado acima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que a equação diferencial x ² y ' ' + λ 2 x 2 - v 2 + 1 4 y = 0 ,x0 ² Possui a solução particular y = x J v ( λ x ) , em que λ0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . x 2 y ' ' + y ' + x 2 - 1 9 y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,∞ ) . 4 x 2 y ' ' + 4 x y ' + 4 x 2 - 25 y = 0