Enunciado

Use a série binomial para mostrar formalmente que

(1 - 2 x t + t^2)^(- (1)/(2)) = sum_(n = 0)^(oo) P_n (x) t^n .

Passo 1

Pelo teorema binomial, nós temos:

[1 + (t^2 - 2 x t)]^(- (1)/(2)) = 1 - (1)/(2) (t^2 - 2 x t) + (3)/(8) (t^2 - 2 x t)^2 + ... = 1 + x t + (1)/(2) (3 x^2 - 1) t^2 + ... .

Assim, conseguimos provar o desejado, ou seja, que a somatória dos polinômios de grau n multiplicados por t elevado a n, resultam na série binomial desejada!

Passo 2

Temos, então, que:

[1 + (t^2 - 2 x t)]^(- (1)/(2)) = sum_(n = 0)^(oo) P_n (x) t^n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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