Enunciado

O ponto P 2 , ln ⁡ 2 pertencente à curva y = ln ⁡ x .

  1. Se Q é o ponto ( x , ln ⁡ x ) , use a sua calculadora para determinar o coeficiente da reta secante P Q , com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x :
  2. Usando os resultados da parte ( a ) , estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P 2 , ln ⁡ 2 .
  3. Use a inclinação obtida na parte ( b ) para achar uma equação da reta tangente à curva em P 2 , ln ⁡ 2
  4. Faça uma figura utilizando duas retas secantes e a reta tangente.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos diz que o ponto P 2 , ln ⁡ 2 pertencente à curva

y = ln ⁡ x

A partir desse dado, queremos determinar o coeficiente da reta secante P Q (onde o ponto Q é ( x , ln ⁡ x ) ) com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x :

Com isso, deveremos estimar o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P 2 , ln ⁡ 2 e sua equação.

Para resolvermos isso tudo é interessante lembrarmos que:

  • Reta secante corta uma curva em dois ou mais pontos;
  • Uma reta tangente toca a curva em um único ponto, proporcionando uma aproximação local da curva naquele ponto.

É interessante lembrarmos também que a equação de uma reta é dada por:

y - y 1 = m x - x 1

Onde x 1 , y 1 são pontos conhecidos e m é a inclinação da reta.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Opa, bora lá! Como a questão foi bem direta, vamos partir para a resolução. Assim, o coeficiente m p q da reta secante P Q vai ser dado por:

m p q = y q - y p x q - x p

Assim, para x = 1,5 , temos:

y = ln ⁡ 1,5 = 0,405465

Logo, o coeficiente m p q para esse ponto é:

m p q = 0,405465 - ln ⁡ 2 1,5 - 2 = 0,575354

Assim, aplicando os demais valores dados no enunciado, obteremos a seguinte tabela:

Percebe-se que a inclinação se aproxima de 1 2 .

Passo 3

Com isso, nossa equação da reta vai ser dada por:

y - y 0 = m ⋅ ( x - x 0 )

y - ln ⁡ 2 = 1 2 ⋅ x - 2 ∴

y = x 2 - 1 + ln ⁡ 2  

Passo 4

Plotando duas retas secantes e uma reta tangente vamos ter

Prontinho!

Resposta

( a )

( b ) 1 2

( c ) y = x 2 - 1 + ln ⁡ 2

( d )

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