Enunciado

Um tanque com capacidade para 1000 galões de água é drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostram o volume V de água remanescente no tanque (em galões) após t minutos.

  1. Se P for o ponto ( 15,250 ) sobre o gráfico de V , encontre as inclinações das retas secantes P Q , onde Q é o ponto sobre o gráfico correspondente a t = 5,10,20,25   e   30 .
  2. Estime a inclinação da reta tangente em P pela média das inclinações de duas retas secantes.
  3. Use o gráfico da função para estimar a inclinação da reta tangente P . (Essa inclinação representa a taxa segundo a qual a água flui do tanque após 15 minutos).

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada uma tabela de valores do volume V de um tanque em galões em função do tempo t em minutos.

Veja só!

A partir dessa tabela, definimos o ponto P em 15 ; 250 e no item a) nosso objetivo é obter a inclinação da reta secante P Q onde Q são os pontos em que t = 5 ,   10 ,   20 ,   25 ,   30 .

No item b) queremos determinar a inclinação da reta tangente em P a partir das inclinações das retas secantes próximas a P .

E no item c) queremos esboçar o gráfico da função e estimar a inclinação da reta tangente em P .

Parece complicado?

Veja só... para resolver o item a) vamos aplicar uma formulinha que determina a inclinação de uma reta que liga dois pontos.

Essa formulinha é dada por

m P Q = y Q - y P x Q - x P

Onde no caso, como nossa abscissa é o tempo t e a ordenada é o volume V , temos

m P Q = V Q - V P t Q - t P

Para obter o resultado do item b) pegamos as inclinações mais próximas de P (no caso em t = 10 e t = 20 ) e calculamos a média entre elas.

Por fim, no item c) temos que esboçar o gráfico da função a partir da tabela e estimar a inclinação da reta tangente no ponto P .

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item a) a partir da formulinha que vimos no passo 1...

m P Q = V Q - V P t Q - t P

Para refrescar a memória, vamos trazer a tabela novamente.

Em todos os casos, temos que V P = 250 e t P = 15

Em t Q = 5   m i n , temos que V Q = 694 , ou seja

m P Q t = 5 = 694 - 250 5 - 15 = - 44,4

Agora em t Q = 10   m i n , temos que V Q = 444 , portanto

m P Q t = 10 = 444 - 250 10 - 15 = - 38,8

Seguindo esse método, chegamos para cada t as inclinações obtidas na tabela abaixo...

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para o item b) podemos estimar a inclinação da reta tangente em P pela média de duas retas secantes em t = 10 e t = 20 .

A partir da tabela que construímos no passo 2, vemos que

m 10 = - 38,8

m 20 = - 27,8

Como a média entre dois números é a soma desses números divididos por 2 , chegamos em

m P = m 10 + m 20 2

m P = - 38,8 + - 27,8 2

m P = - 33,3

Show? 😁

Passo 4

Agora no item c) vamos construir o gráfico de V t esboçando os pontos dados e ligando-os...

A partir desse gráfico podemos esboçar a reta tangente em t = 15 m i n

Perceba que a reta corta o eixo das abscissas em t = 22,5 m i n e o eixo das ordenadas em V = 750 , aproximadamente.

A partir da equação que usamos no item a) podemos estimar a inclinação da reta tangente em P como

m P = V 1 - V 2 t 1 - t 2 = 0 - 750 22,5 - 0

m P = - 33,3

Prontinhoo! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a

b - 33,3

( c ) - 33 , 3

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