Enunciado

Ponto mais quente em uma sonda espacial Uma sonda espacial no formato do elipsoide

4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

entra na atmosfera terrestre e sua superfície começa a se aquecer. Depois de 1 hora, a temperatura no ponto ( x , y , z ) na superfície da sonda é

T ( x , y , z ) = 8 x 2 + 4 y z - 16 z + 600 .

Encontre o ponto mais quente na superfície da sonda.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Uma sonda espacial com o formato de um elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 entra na atmosfera da Terra e começa a esquentar. Após uma hora, a temperatura do ponto ( x , y , z ) na superficie da sonda é:

T ( x , y , z ) = 8 x 2 + 4 y z - 16 z + 600

Encontraremos, neste exercício, então, o ponto mais quente nessa superficie. Vamos lá!

Passo 2

Calcularemos os gradientes das funções para o aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:

∇ T = 16 x i + 4 z j + ( 4 y - 16 ) k ∇ g = 8 x i + 2 y j + 8 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange chegamos a:

∇ T = λ ∇ g 16 x i + 4 z j + ( 4 y - 16 ) k = λ ( 8 x i + 2 y j + 8 z k )

Separando as componentes temos:

16 x = 8 x λ 4 z = 2 y λ 4 y - 16 = 8 z λ λ = 2  ou  x = 0 .

Caso 1: se λ = 2 , então

4 z = 2 y ( 2 ) z = y .

Levando a 4 z - 16 = 16 z , z = - 4 3 , ou seja y = - 4 3

Passo 3

Substituindo os valores encontrados em 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 , temos que:

4 x 2 + - 4 3 2 + 4 - 4 3 2 = 16 x = ± 4 3

Passo 4

Caso 2: se x = 0 , então:

λ = 2 z y , 

Substituindo em 4 y - 16 = 8 z λ temos:

4 y - 16 = 8 z 2 z y y 2 - 4 y = 4 z 2

Agora, usando x = 0 e y 2 - 4 y = 4 z 2 em 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 :

4 ( 0 ) 2 + y 2 + y 2 - 4 y - 16 = 0 y 2 - 2 y - 8 = 0   ( y - 4 ) ( y + 2 ) = 0 y = 4  ou  y = - 2 .

Para y = 4 ,

4 z 2 = 4 2 - 4 ( 4 ) z = 0

Passo 5

Para y = - 2 :

4 z 2 = ( - 2 ) 2 - 4 ( - 2 ) z = ± 3

As possiveis temperaturas são, então:

T ± 4 3 , - 4 3 , - 4 3 = 642 2 ∘ 3 T ( 0,4 , 0 ) = 600 ∘ T ( 0 , - 2 , 3 ) = ( 600 - 24 3 ) ∘ T ( 0 , - 2 , - 3 ) = ( 600 + 24 3 ) ∘ ≈ 641.6 ∘

Portanto, o ponto ± 4 3 , - 4 3 , - 4 3 é então o ponto mais quente na sonda.

Resposta

Resposta nos passos.

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