Enunciado

Em que pontos ( x ,   y ) no plano as funções nos Exercícios 31-34 são contínuas?

  1. g x ,   y = x 2 + y 2 x 2 - 3 x + 2
  2. g x ,   y = 1 x 2 - y

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

  1. f for definida em x 0 ,   y 0 ;
  2. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe;
  3. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0 .

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

g x ,   y = x 2 + y 2 x 2 - 3 x + 2

Como o denominador de uma equação não pode ser igual a zero, então temos a restrição onde:

x 2 - 3 x + 2 ≠ 0

Resolvendo a equação de 2° grau, descobrimos que x ≠ 1 x ≠ 2 . Sendo assim, a função g é contínua, exceto onde x = 1 e x = 2 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

g x ,   y = 1 x 2 - y

Para essa função, temos o mesmo do item a., onde:

x 2 - y ≠ 0

x 2 ≠ y

Então a função g é contínua, exceto quando x 2 = y .

Resposta

  1. Todo x ,   y , exceto onde x = 1 e x = 2 .
  2. Todo x ,   y , exceto onde x 2 = y .

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