Calcule

lim t → 2 ⁡ r → ( t )

onde

r(t) = (t^3 - 8) / (t^2 - 4) i + (cos(pi / t)) / (t - 2) j + 2t k

Passo 1

Para calcular o limite de uma função de uma variável com imagem no R n , calculamos o limite de cada coordenada separadamente.

Se r → t = x t , y t , z t , vamos calcular primeiramente o limite de x

lim t → 2 ⁡ t 3 - 8 t 2 - 4

Temos neste caso uma indeterminação do tipo 0 / 0 , então vamos usar L’Hospital

= lim t → 2 ⁡ 3 t 2 2 t = lim t → 2 ⁡ 3 2 t = 3

Passo 2

Agora da coordenada y

lim t → 2 ⁡ cos ⁡ π t t - 2

Novamente temos uma indeterminação, vamos usar L’Hospital mais uma vez

= lim t → 2 ⁡ π t 2 ⋅ sen ⁡ π t 1 = π 4

Passo 3

E da coordenada z

lim t → 2 ⁡ 2 t = 4

Então, temos que o limite da nossa função r → quando t → 2 é

lim t → 2 ⁡ r → ( t ) = 3   i → + π 4   j → + 4   k →

Resposta

3   i → + π 4   j → + 4   k →

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