Enunciado

Sejam F → = F 1 , F 2 , … , F n ,   G → = G 1 , G 2 , … , G n duas funções de uma variável real a valores em R n e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , lim t → t 0 ⁡ G → = b → e lim t → t 0 ⁡ f t = L , onde a → = a 1 , a 2 , … , a n ,   b → = b 1 , b 2 , … , b n e L real. Prove:

lim t → t 0 ⁡ f t   F → ( t ) = L a →

Passo 1

Se temos que calcular o seguinte limite

lim t → t 0 ⁡ f t   F → ( t )

Vamos primeiro entender o que é a função

f t   F → t = f t F 1 , F 2 , … , F n

= f   F 1 , f   F 2 , … , f   F n

Calculando coordenada por coordenada, temos os limites

lim t → t 0 ⁡ f   F i

Pela propriedade dos limites podemos dizer que

lim t → t 0 ⁡ f   F i = lim t → t 0 ⁡ f t ⋅ lim t → t 0 ⁡ F i

Se os dois limites convergirem. No enunciado foi dado que lim t → t 0 ⁡ F → = a → , então

lim t → t 0 ⁡ F i = a i

e foi dado também que lim t → t 0 ⁡ f t = L , logo

lim t → t 0 ⁡ f t ⋅ lim t → t 0 ⁡ F i = L   a i

Portanto no limite ficaríamos com algo do tipo

lim t → t 0 ⁡ f t   F → ( t ) = L a 1 , L a 2 , … , L a n

Tirando L em evidência temos

lim t → t 0 ⁡ f t   F → ( t ) = L a 1 , a 2 , … , a n

lim t → t 0 ⁡ f t   F → ( t ) = L a →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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