Enunciado

A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15 % em 10 anos. Qual será a população em 30 anos?

Passo 1

E aíí gente, vamos pra mais uma?

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a população cresce proporcionalmente ao número de pessoas naquele instante

Então vamos chamar N 0 o número de pessoas naquele instante e d N d t a taxa de crescimento da população. Temos:

d N d t ∝ N 0

Então

d N d t = k . N 0   ( I )

Onde k é uma constante

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d N d t + A t . N = B ( t ) , olha:

d N d t - k . N = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

N ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = - k e B y = 0 então:

I t = e ∫ - k   d t

I t = e - k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

N t = 1 e - k t ∫ 0   d t + c

N t = 1 e - k t 0 + c

N t = c . e k t

Sendo c = N 0

N t = N 0 . e k t

Mass ele fala que N 0 = 500 , então:

N t = 500 . e k t

Ta mas e aí, qual é o valor de k ?

Passo 2

Temos

N t = 500 . e k t

E queremos descobrir o valor inicial de k . Para isso, vamos usar a informação do enunciado, ele fala que depois de 10 anos, a população de 500 habitantes aumenta 15%, ou seja:

N 10 = 500 . ( 1 + 15 % )

N 10 = 500 . ( 1 + 0.15 )

N 10 = 575

Substituindo na nossa equação:

575 = 500 . e 10 k

e 10 k = 575 500

10 k = ln ⁡ 575 500

Então

k = ln ⁡ 1.15 10

Logo, a nossa equação é desse jeitinho aqui:

N t = 500 . e ln ⁡ 1.15 10 t

Passo 3

Agora vamos responder a outra pergunta do enunciado, ele quer saber qual vai ser a população em t = 30   a n o s , então:

N 30 = 500 . e ln ⁡ 1.15 10 30

N 30 = 500 . e 3 . ln ⁡ 1.15

Então, a população em 30 anos vai ser

N ( 30 ) ≅ 760

E é isso, mais simples do que parecia né hehehe

Resposta

N 30 = 760

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